Задача 3. На стороне OA угла AOB отмечены точки P и Q так, что OP = 5, PQ = 10. Через эти точки проведены прямые, параллельные OB, которые пересекают вторую сторону угла в точках P₁ и Q₁. Известно, что P₁Q₁ = 12. Найдите длину отрезка OP₁.

Шаг 1. Найдём расстояние до Q на стороне OA: OQ = OP + PQ = 5 + 10 = 15.

Шаг 2. По теореме о пропорциональных отрезках OP₁/OP = P₁Q₁/PQ. Следовательно, OP₁/5 = 12/10.

Шаг 3. OP₁ = 5 · 12/10 = 6.

Ответ: OP₁ = 6.