Задача 2. Доказать, что треугольники подобны и найти BD. Дано: AC = 5, AO = 6, CO = 4, OB = 12, OD = 8.

Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\).

1. Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные, поэтому они равны.
2. Отношения двух соответствующих сторон равны: \(\dfrac{AO}{OB} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{CO}{OD} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).
3. Следовательно, \(\triangle AOC \sim \triangle BOD\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4. Коэффициент подобия от \(\triangle AOC\) к \(\triangle BOD\) равен \(2\). Поэтому \(BD = AC \cdot 2 = 5 \cdot 2 = 10\).

Ответ: \(BD = 10\).