ЗАДАЧА 2. Докажите, что четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны, является параллелограммом.

Обозначим четырёхугольник \(ABCD\), где \(\angle A=\angle C\) и \(\angle B=\angle D\).

1. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), поэтому \(2\angle A+2\angle B=360^\circ\).
2. Разделив равенство на 2, получаем \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Следовательно, внутренние односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\), пересечённых прямой \(AB\), в сумме равны \(180^\circ\). Значит, \(AD\parallel BC\).
3. Так как \(\angle B=\angle D\), из суммы углов также следует \(\angle A+\angle D=180^\circ\). Это внутренние односторонние углы при прямых \(AB\) и \(CD\), пересечённых прямой \(AD\). Значит, \(AB\parallel CD\).

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, он является параллелограммом.