ЗАДАЧА 2. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

1. В треугольниках \(AOB\) и \(COD\): \(AO=OC\), \(BO=OD\), а углы \(AOB\) и \(COD\) равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Отсюда соответствующие углы равны, поэтому \(AB\parallel CD\).
3. Аналогично, треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(AD\parallel BC\).
4. У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, он является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.