Задача 2. Две стороны треугольника равны 7 см и 4 см, а угол между ними — 135°. Найдите третью сторону и площадь треугольника.

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=7^2+4^2-2\cdot7\cdot4\cos135^\circ\).

Поскольку \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}\), получаем:

\(c^2=49+16+28\sqrt2=65+28\sqrt2\), поэтому \(c=\sqrt{65+28\sqrt2}\) см.

Площадь по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot7\cdot4\cdot\sin135^\circ=14\cdot\frac{\sqrt2}{2}=7\sqrt2\) см².

Ответ: третья сторона — \(\sqrt{65+28\sqrt2}\) см; площадь — \(7\sqrt2\) см².