Задача № 2. Место для площадки. На плане есть дом A(0; 0), сарай B(6; 8) и горка C(8; 2). Хотят построить детскую площадку так, чтобы она была одинаково удалена от дома, сарая и горки. Участок — квадрат с углами (0; 0) и (8; 8). Найти координаты точки для площадки и определить, попадает ли она на участок.

Ищем точку \(P(x;y)\), равноудалённую от точек \(A\), \(B\) и \(C\).

1. Приравняем квадраты расстояний до дома и сарая:
   \[x^2+y^2=(x-6)^2+(y-8)^2.\]
   После раскрытия скобок получаем:
   \[3x+4y=50.\]
2. Приравняем квадраты расстояний до дома и горки:
   \[x^2+y^2=(x-8)^2+(y-2)^2.\]
   После упрощения:
   \[4x+y=17.\]
3. Решим систему:
   \[\begin{cases}3x+4y=50,\\4x+y=17.\end{cases}\]
   Из второго уравнения \(y=17-4x\). Подставим:
   \[3x+4(17-4x)=50,\quad -13x=-18,\quad x=\frac{18}{13}.\]
   Тогда
   \[y=17-4\cdot\frac{18}{13}=\frac{101}{13}.\]
4. Полученная точка:
   \[P\left(\frac{18}{13};\frac{101}{13}\right)\approx(1.38;7.77).\]
5. Для квадрата нужно, чтобы \(0\le x\le8\) и \(0\le y\le8\). Оба условия выполняются.

Ответ: площадку следует разместить в точке \(P\left(\frac{18}{13};\frac{101}{13}\right)\approx(1.38;7.77)\). Точка попадает внутрь участка.