Задача № 3. Кратчайший путь. От дома A(0; 0) до школы S(10; 2) можно идти сначала вдоль прямой y = x до точки M(x; x), а затем от точки M кратчайшим путём до школы. Масштаб: 1 клетка = 50 м. Где нужно сделать переход, чтобы весь путь был как можно короче? Проверьте длину пути при таком положении перехода.

Точка перехода имеет координаты \(M(x;x)\). Для \(x\ge0\) длина пути равна

\[L(x)=AM+MS=\sqrt{2}\,x+\sqrt{(10-x)^2+(2-x)^2}.\]

Дом \(A(0;0)\) уже лежит на прямой \(y=x\). Поэтому любой ненулевой участок движения от дома до точки \(M\cdot\neq A\) увеличивает длину пути, а прямой путь из дома к школе является кратчайшим.

Следовательно, оптимальная точка перехода — сам дом:

\[M=A=(0;0).\]

Длина кратчайшего пути в клетках:

\[AS=\sqrt{(10-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\text{ клеток}.\]

С учётом масштаба:

\[2\sqrt{26}\cdot50=100\sqrt{26}\text{ м}\approx509.9\text{ м}.\]

Ответ: переход следует сделать в точке \(M(0;0)\), то есть сразу у дома. Минимальная длина пути — \(100\sqrt{26}\) м, примерно 510 м.