Задача 2. На прямой отмечены точки K, M и E, причём M — середина отрезка KE. Из точки M проведены два луча MA и MB в разные стороны от прямой KE, так что ∠KMA = ∠EMB. Докажите, что ΔKMA = ΔEMB.

По условию KM = ME, поскольку M — середина KE, и ∠KMA = ∠EMB. Но для первого признака равенства треугольников нужна ещё равенство вторых сторон, прилежащих к этим углам: MA = MB. В условии этого нет, поэтому утверждение в общем случае неверно.

Контрпример: пусть K = (−1; 0), M = (0; 0), E = (1; 0). Возьмём A = (−1; √3), B = (0,5; −√3/2). Точки A и B находятся по разные стороны от прямой KE. Углы ∠KMA и ∠EMB равны 60°, а KM = ME = 1. Однако MA = 2, MB = 1, поэтому треугольники не равны.

Чтобы доказательство по первому признаку было верным, необходимо дополнить условие равенством MA = MB. Тогда KM = ME, MA = MB и равны углы между этими сторонами, следовательно, треугольники равны по первому признаку.

Ответ: доказать равенство по данному условию нельзя; не хватает условия MA = MB.