Задача № 2. На рис. 2.38 точка O — середина отрезка AB, AT = BP, ∠OAT = ∠OBP. Докажите, что точка O — середина отрезка PT.

Рассмотрим треугольники \(\triangle OAT\) и \(\triangle OBP\).

1. Так как точка \(O\) — середина отрезка \(AB\), то \(OA = OB\).
2. \(AT = BP\) — по условию.
3. \(\angle OAT = \angle OBP\) — по условию.

Следовательно, \(\triangle OAT = \triangle OBP\) по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда соответствующие стороны равны: \(OT = OP\).

По рисунку точки \(P\), \(O\), \(T\) лежат на одной прямой. Значит, точка \(O\) лежит на отрезке \(PT\) и делит его пополам.

Ответ: точка \(O\) — середина отрезка \(PT\).