Задача 2. На сторонах развёрнутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развёрнутого угла.

Пусть лучи делят развёрнутый угол на три равных угла. Развёрнутый угол равен \(180^\circ\), поэтому каждый из трёх углов равен \(180^\circ:3=60^\circ\).

Биссектриса среднего угла делит его пополам, поэтому образует с каждой из его сторон угол \(60^\circ:2=30^\circ\). От каждой стороны развёрнутого угла до ближайшей стороны среднего угла получается угол \(60^\circ\). Значит, угол между биссектрисой среднего угла и каждой стороной развёрнутого угла равен \(30^\circ+60^\circ=90^\circ\).

Следовательно, биссектриса среднего угла перпендикулярна обеим сторонам развёрнутого угла. Что и требовалось доказать.