Задача 3. Углы ∠AOB и ∠BOC смежные, OM — биссектриса ∠AOB, луч ON принадлежит внутренней области угла BOC и перпендикулярен OM. Является ли ON биссектрисой угла BOC? Почему?

Пусть \(\angle AOB=\alpha\). Так как углы смежные, \(\angle BOC=180^\circ-\alpha\). Биссектриса OM образует с OB угол \(\alpha/2\).

Поскольку ON лежит внутри угла BOC и перпендикулярна OM, угол между OB и ON равен \(90^\circ-\alpha/2\). При этом половина угла BOC равна \((180^\circ-\alpha)/2=90^\circ-\alpha/2\). Следовательно, \(\angle BON=\angle NOC\).

Ответ: да, ON является биссектрисой угла BOC, поскольку делит его на два равных угла.