Задача № 2. На стороне BC прямоугольника ABCD лежит точка P так, что BP = PC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{AO}\), \(\overrightarrow{AP}\), \(\overrightarrow{PD}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\).

Так как ABCD — прямоугольник, \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), а диагонали пересекаются и делятся пополам.

1. O — середина диагонали AC, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)\).

2. P — середина BC, значит \(\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b\).

3. \(\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AP}+\vec b=-\vec a+\frac{1}{2}\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\vec a+\frac{1}{2}\vec b\); \(\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b\); \(\overrightarrow{PD}=-\vec a+\frac{1}{2}\vec b\).