Задача 2. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 12 и 16 см, а боковые ребра равны \( 10 \sqrt{5} \) см. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами \( a = 12 \) см и \( b = 16 \) см. Боковые ребра пирамиды равны \( l = 10 \sqrt{5} \) см.

Высота пирамиды, боковое ребро и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник.

Сначала найдем диагональ основания \( d \) прямоугольника по теореме Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + b^2 \]

\[ d^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \]

\[ d = \sqrt{400} = 20 \) см

Половина диагонали основания равна:

\[ \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см

Теперь найдем высоту пирамиды \( h \) по теореме Пифагора, используя боковое ребро \( l \) и половину диагонали основания \( \frac{d}{2} \):

\[ l^2 = h^2 + \left( \frac{d}{2} \right)^2 \]

\[ (10 \sqrt{5})^2 = h^2 + 10^2 \]

\[ 100 \cdot 5 = h^2 + 100 \]

\[ 500 = h^2 + 100 \]

\[ h^2 = 500 - 100 = 400 \]

\[ h = \(\sqrt{400}\) = 20 \) см

Ответ: 20 см.