Задача 3. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.

Решение:

Основание прямой призмы — треугольник со сторонами \( a = 5 \) см, \( b = 3 \) см и углом \( \gamma = 120^{\circ} \) между ними.

Найдем третью сторону \( c \) треугольника по теореме косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \]

\[ c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos(120^{\circ}) \]

\[ c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \]

\[ c^2 = 34 + 15 = 49 \]

\[ c = \sqrt{49} = 7 \) см

Стороны основания треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см.

Площади боковых граней призмы равны произведению стороны основания на высоту призмы \( h \).

\( S_{бок.гран1} = a \cdot h = 5h \)

\( S_{бок.гран2} = b \cdot h = 3h \)

\( S_{бок.гран3} = c \cdot h = 7h \)

Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см², это соответствует наибольшей стороне основания, то есть 7 см.

\[ 7h = 35 \ \text{см}^2 \]

\[ h = \frac{35}{7} = 5 \) см

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок.пов} \), которая равна произведению периметра основания \( P \) на высоту призмы \( h \).

\[ P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15 \) см

\[ S_{бок.пов} = P \cdot h = 15 \ \text{см} \cdot 5 \ \text{см} = 75 \ \text{см}^2 \]

Ответ: 75 см².