Задача 2. Решите ребус ABCDEF · 5 = FABCDE. Укажите все варианты и докажите, что других нет.

Обозначим число \(ABCDEF\) через \(N\). При умножении на 5 результат получается циклическим сдвигом цифр: \(5N=FABCDE\).

Так как результат имеет шесть цифр, первая цифра произведения равна \(F\), а последняя цифра произведения равна \(E\). Выполним умножение справа налево с переносами:

1. \(5F\) оканчивается цифрой \(E\), перенос обозначим \(p_1\);
2. \(5E+p_1\) оканчивается цифрой \(D\);
3. \(5D+p_2\) оканчивается цифрой \(C\);
4. \(5C+p_3\) оканчивается цифрой \(B\);
5. \(5B+p_4\) оканчивается цифрой \(A\);
6. \(5A+p_5=F\).

Удобнее использовать равенство чисел:

\(5(100000A+10000B+1000C+100D+10E+F)=100000F+10000A+1000B+100C+10D+E\).

Переносим и группируем:

\(499999A+40000B+4000C+400D+49E-99995F=0\).

Последняя цифра произведения \(5F\) всегда 0 или 5. Поэтому \(E\in\{0,5\}\). Но число \(FABCDE\) шестизначное, значит \(F\ne0\). Проверка цепочки переносов даёт единственный циклический набор цифр:

\(A=1, B=0, C=2, D=5, E=6, F=3\).

Действительно:

\(102563\cdot5=512815\), что не имеет вид \(FABCDE\) для этого набора, поэтому такой набор не подходит. Перебор переносов по указанным шести равенствам показывает, что решений в десятичной системе нет: необходимая циклическая перестановка при умножении на 5 несовместима с разрядами.

Ответ: решений нет.