Задача 2. В треугольной призме ABC A₁B₁C₁ точки P и Q — середины боковых рёбер AA₁ и BB₁ соответственно. а) Докажите, что прямая PQ параллельна плоскости основания ABC. б) Найдите длину PQ, если длина отрезка AB = 8 см.

а) Рассмотрим боковую грань ABB₁A₁ призмы. Она является параллелограммом, поэтому её диагонали или стороны задают параллельные направления: AA₁ ∥ BB₁. Так как P и Q — середины этих параллельных рёбер, отрезок PQ соединяет соответствующие точки сторон параллелограмма. Следовательно, PQ ∥ AB. Поскольку AB лежит в плоскости основания ABC, а PQ не лежит в этой плоскости, получаем PQ ∥ плоскости ABC.

б) В треугольнике AA₁B₁B (боковой грани-параллелограмме) отрезок, соединяющий середины противоположных боковых рёбер AA₁ и BB₁, равен стороне AB: можно также заметить, что перенос, переводящий A в B, переводит P в Q. Поэтому PQ = AB = 8 см.

Ответ: а) PQ ∥ плоскости ABC; б) PQ = 8 см.