Задача 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ADC равен 60° и AB = AD = DC. Найдите ∠ABD, если ∠BCA = 70°. Варианты ответа: А. 30°; Б. 40°; В. 70°; Г. 110°.

Так как AD = DC и ∠ADC = 60°, треугольник ADC равносторонний. Поэтому AC = AD и ∠DAC = 60°.

По условию AB = AD, а значит, AB = AC. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC: ∠ABC = ∠BCA = 70°. Тогда ∠BAC = 180° − 70° − 70° = 40°.

В выпуклом четырёхугольнике лучи AB и AC находятся внутри угла BAD, поэтому ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 40° + 60° = 100°. Так как AB = AD, треугольник ABD равнобедренный, и его углы при основании равны: ∠ABD = (180° − 100°) / 2 = 40°.

Ответ: Б. 40°.