Задача 3 (10 баллов). Семья Ивановых планирует накопить 500 000 рублей на покупку автомобиля через 3 года. Банк предлагает вклад под 8% годовых с ежегодной капитализацией процентов. Определите: 1. Какую сумму необходимо положить в банк сегодня, чтобы через 3 года получить 500 000 рублей? 2. Какой доход получит семья в виде процентов за весь период?

Дано: будущая сумма — 500 000 руб.; ставка — 8% годовых; срок — 3 года; капитализация ежегодная.

При ежегодной капитализации будущая сумма равна \(S = P(1 + r)^n\), где \(P\) — первоначальный вклад. Тогда

\(P = \dfrac{500\,000}{(1 + 0.08)^3} = \dfrac{500\,000}{1.259712} \approx 396\,916.38\) руб.

Процентный доход за весь срок: \(500\,000 - 396\,916.38 \approx 103\,083.62\) руб.

Ответ: сегодня нужно внести примерно 396 916,38 руб.; доход в виде процентов составит примерно 103 083,62 руб.