Задача 3. а) Доказать, что ╨SPM = ╨TKM. б) Доказать, что ╨PRM = ╨KRM. в) (дополнительная задача) Доказать, что RM - высота ╨RST

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• а) Доказательство равенства ╨SPM и ╨TKM:
• Рассмотрим ╨SPM и ╨TKM.
• ∠ SPM = ∠ TKM = 90° (по условию, отмечено на рисунке). Треугольники прямоугольные.
• SM = TM (по условию, отмечено на рисунке).
• ∠ S M P = ∠ T M K (вертикальные углы).
• По первому признаку равенства треугольников (СУС), ╨SPM = ╨TKM.
• б) Доказательство равенства ╨PRM и ╨KRM:
• Из равенства ╨SPM = ╨TKM следует, что SP = TK и PM = KM.
• Рассмотрим ╨PRM и ╨KRM.
• PM = KM (доказано выше).
• RM - общая сторона для обоих треугольников.
• ∠ RPM = ∠ RKM (по условию, отмечено на рисунке).
• По первому признаку равенства треугольников (СУС), ╨PRM = ╨KRM.
• в) Доказательство, что RM - высота ╨RST:
• Из равенства ╨PRM = ╨KRM следует, что соответствующие углы равны: ∠ PRM = ∠ KRM и ∠ PMR = ∠ KMR.
• Углы ∠ PMR и ∠ KMR являются смежными с углами ∠ RMS и ∠ RMS (если M лежит на ST).
• Однако, из равенства ╨PRM = ╨KRM, мы также можем заключить, что ∠ SRM = ∠ TRM (если M лежит на ST).
• Также, из равенства ╨SPM = ╨TKM, мы знаем, что ∠ RSM = ∠ RTM.
• Рассмотрим ╨RST. Мы доказали, что ╨PRM = ╨KRM.
• Из этого следует, что ∠ RMP = ∠ RMK.
• Так как ∠ RMP и ∠ RMK - смежные углы и они равны, то каждый из них равен 90°.
• Таким образом, RM ⊥ ST.
• Следовательно, RM - высота ╨RST.

Ответ: а) ╨SPM = ╨TKM; б) ╨PRM = ╨KRM; в) RM - высота ╨RST.