Задача 3. Большая сторона треугольника равна 5 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 4. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Сумма трёх дуг равна 360°. Пусть их градусные меры равны \(2k\), \(3k\), \(4k\). Тогда \(9k=360^\circ\), поэтому дуги равны 80°, 120° и 160°.

Угол между двумя радиусами, проведёнными к точкам касания соседних сторон, равен 180° минус угол треугольника при этой вершине: радиусы перпендикулярны сторонам, а четырёхугольник, образованный ими и двумя сторонами, имеет два прямых угла. Значит, углы треугольника равны 100°, 60° и 20°.

Большая сторона лежит напротив наибольшего угла 100° и равна 5 см. По теореме синусов остальные стороны:

сторона напротив 60°: \(5\cdot\dfrac{\sin60^\circ}{\sin100^\circ}=\dfrac{5\sqrt3}{2\sin100^\circ}\approx4.40\) см;

сторона напротив 20°: \(5\cdot\dfrac{\sin20^\circ}{\sin100^\circ}\approx1.74\) см.

Ответ: приблизительно 4.40 см и 1.74 см.