Задача 3. К плоскости прямоугольника ABCD в вершине C проведён перпендикуляр CM, равный 10 см. Вершина M перпендикуляра соединена с вершинами прямоугольника. Найдите длины наклонных MA, MB, MC и MD и их проекции на плоскость прямоугольника, если стороны прямоугольника равны 6 и 8 см.

Основание перпендикуляра из M на плоскость прямоугольника — точка C. Поэтому проекции отрезков MA, MB, MC и MD на плоскость — соответственно CA, CB, точка C и CD.

В прямоугольнике диагональ \(CA = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\) см. По теореме Пифагора:

• \(MA = \sqrt{MC^2 + CA^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\) см;
• \(MC = 10\) см;
• отрезки MB и MD вычисляются по катетам MC и соответствующим сторонам CB и CD. Поскольку не указано, какая из сторон прямоугольника равна 6 см, а какая 8 см, возможны два распределения.

Если \(CB = 6\) см, а \(CD = 8\) см, то \(MB = \sqrt{10^2 + 6^2} = 2\sqrt{34}\) см, \(MD = \sqrt{10^2 + 8^2} = 2\sqrt{41}\) см. Если длины CB и CD поменять местами, значения MB и MD поменяются местами.

Ответ: \(MA = 10\sqrt{2}\) см, \(MC = 10\) см; \(MB\) и \(MD\) равны \(2\sqrt{34}\) см и \(2\sqrt{41}\) см в зависимости от того, какая из сторон CB и CD равна 6 см. Проекции: \(MA \to CA = 10\) см, \(MB \to CB\), \(MC \to C\), \(MD \to CD\).