Задача № 3 («на 5»). В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \(a\) и \(b\), а высота — \(h\). Расположим трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Тогда горизонтальная проекция каждой диагонали равна половине суммы оснований, то есть средней линии \(m=\dfrac{a+b}{2}\).

Направляющие векторы диагоналей можно записать как \((m,h)\) и \((-m,h)\). Их скалярное произведение равно \(-m^2+h^2\).

По условию \(h=m\), поэтому \(-m^2+h^2=0\). Следовательно, направляющие векторы диагоналей перпендикулярны, а значит, перпендикулярны и сами диагонали.

Что и требовалось доказать.