Задача 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и K. При этом AM = 4, MB = 2, BK = 3, KC = 1. 1) Найдите подобные треугольники, докажите их подобие. 2) Найдите длину отрезка MK, если AC = 8.

Найдём полные стороны треугольника:

\(AB=AM+MB=4+2=6\), \(BC=BK+KC=3+1=4\).

Рассмотрим \(\triangle MBK\) и \(\triangle CBA\).

1. \(\frac{MB}{CB}=\frac{2}{4}=\frac12\).
2. \(\frac{BK}{BA}=\frac{3}{6}=\frac12\).
3. Угол \(\angle MBK\) равен углу \(\angle CBA\), так как лучи \(BM\) и \(BA\) лежат на одной прямой, а лучи \(BK\) и \(BC\) — на одной прямой.
4. Следовательно, \(\triangle MBK\sim\triangle CBA\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен \(\frac12\). Поэтому

\(\frac{MK}{CA}=\frac12\).

При \(CA=8\) см:

\(MK=8\cdot\frac12=4\) см.

Ответ: 1) \(\triangle MBK\sim\triangle CBA\); 2) \(MK=4\) см.