Задача 3: Отрезок AK - биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если \(\angle CAE = 78^\circ\).

Решение: 1. Так как AK - биссектриса угла CAE, то \(\angle CAK = \angle KAE = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ\). 2. По условию KN \(\parallel\) CA, следовательно, \(\angle AKN = \angle CAK = 39^\circ\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AK. 3. Также \(\angle NKA = \angle KAE = 39^\circ\) как соответственные углы при параллельных прямых KN и CA и секущей AE. 4. Теперь рассмотрим треугольник AKN. Мы знаем два его угла: \(\angle AKN = 39^\circ\) и \(\angle KAN = 39^\circ\). Найдем третий угол ANK. 5. Сумма углов треугольника равна 180°: \(\angle ANK = 180^\circ - (\angle AKN + \angle KAN) = 180^\circ - (39^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ\). Ответ: Углы треугольника AKN равны \(39^\circ\), \(39^\circ\) и \(102^\circ\). **Развёрнутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть треугольник CAE, и AK делит угол CAE пополам. Это значит, что угол CAK равен углу KAE, и каждый из них равен половине угла CAE, то есть 78° / 2 = 39°. Теперь через точку K провели линию KN параллельно стороне CA. Угол AKN равен углу CAK, потому что они накрест лежащие. Значит, угол AKN равен 39°. Угол KAN равен углу KAE, то есть тоже 39°. Чтобы найти угол ANK, нужно из 180° вычесть сумму углов AKN и KAN (39° + 39° = 78°). Тогда угол ANK равен 180° - 78° = 102°. Так мы нашли все углы треугольника AKN: 39°, 39° и 102°.