Задача 3. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечётных чисел, а чётные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?

Рассмотрим событие: за два броска выпали 4 и 6 в любом порядке.

Для первого, обычного кубика вероятность этого события равна \(2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac1{18}\).

На втором кубике вероятности выпадения 4 и 6 равны \(\frac13\) каждая. Поэтому вероятность события равна \(2\cdot\frac13\cdot\frac13=\frac29\).

Кубик выбирают случайно, значит, априорные вероятности выбора каждого кубика равны \(\frac12\). По формуле Байеса:

\[P(\text{первый}\mid E)=\frac{\frac12\cdot\frac1{18}}{\frac12\cdot\frac1{18}+\frac12\cdot\frac29}=\frac{1/18}{1/18+2/9}=\frac15.\]

Ответ: \(\frac15\).