Задача 3 (повышенная). Пусть E, F, G — произвольные события в одном эксперименте. Упростите выражение: (E + F)\(E + \overline{F}\) + G. Докажите эквивалентность преобразований, используя свойства операций над событиями.

Здесь сложение событий означает объединение, умножение — пересечение, а черта — дополнение.

1. Применим распределительный закон:

   \((E\cup F)\cap(E\cup\overline{F})=(E\cap E)\cup(E\cap\overline{F})\cup(F\cap E)\cup(F\cap\overline{F})\).

2. Используем идемпотентность и закон дополнения: \(E\cap E=E\), \(F\cap\overline{F}=\varnothing\). Поэтому выражение равно \(E\cup(E\cap\overline{F})\cup(F\cap E)\).

3. По закону поглощения \(E\cup(E\cap\overline{F})=E\), а также \(E\cup(F\cap E)=E\). Значит, произведение в скобках равно E.

4. Добавим G: получаем \(E\cup G\).

Ответ: \(E+G\).