Задача 3 (Проверить смекалку). Диагонали ромба относятся как 3 : 4, а его периметр равен 100 см. Найдите длины обеих диагоналей.

Сторона ромба равна \(100 : 4 = 25\) см. Пусть диагонали равны \(3k\) и \(4k\). Их половины вместе со стороной ромба образуют прямоугольный треугольник, поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.

По теореме Пифагора:

\(\left(\frac{3k}{2}\right)^2 + \left(\frac{4k}{2}\right)^2 = 25^2\).

\(\frac{9k^2}{4} + 4k^2 = 625\), откуда \(\frac{25k^2}{4} = 625\), \(k^2 = 100\), значит, \(k = 10\).

Диагонали равны \(3k = 30\) см и \(4k = 40\) см.

Ответ: 30 см и 40 см.