Задача 3. Сто деталей сложены на столе в форме решётки 10×10. Будем говорить, что две детали лежат рядом, если они соседствуют по вертикали, горизонтали или диагонали. Например, угловая деталь лежит рядом с тремя другими деталями. Манипулятор перекладывает эти детали в короб. В его программе заложен следующий алгоритм: если есть две детали, расположенные рядом, нужно переложить какие-то две детали в короб (манипулятор перекладывает их одновременно). Если таких двух деталей нет, переложить в короб произвольно из оставшихся деталей. Какое наибольшее число операций по перекладыванию доступно данному манипулятору?

За одну операцию можно убрать ровно две соседние детали. Поэтому число операций не может превышать 50: всего 100 деталей.

Предел достижим: разбить решётку на 50 горизонтальных соседних пар и каждый раз убирать детали одной такой пары. Пока детали из этих пар остаются, в каждой паре есть соседние детали; после 50 операций деталей не останется.

Ответ: 50 операций.