Задача 3. В параллелограмме ABCD \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), M — середина CD, O — точка пересечения диагоналей. Выразить через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) следующие векторы: \(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DM},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AO},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DO}\).

Пусть точка A имеет радиус-вектор \(\vec 0\). Тогда:

\(\overrightarrow{AB}=\vec a\), поэтому \(B=\vec a\).

Так как \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), то \(C=\vec a+\vec b\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), следовательно, \(D=\vec b\).

M — середина CD, поэтому \(M=\frac{C+D}{2}=\frac{(\vec a+\vec b)+\vec b}{2}=\frac12\vec a+\vec b\).

Точка O — середина диагонали AC: \(O=\frac{\vec a+\vec b}{2}\).

1. \(\overrightarrow{AC}=C-A=\vec a+\vec b\).
2. \(\overrightarrow{AD}=D-A=\vec b\).
3. \(\overrightarrow{CB}=B-C=\vec a-(\vec a+\vec b)=-\vec b\).
4. \(\overrightarrow{DM}=M-D=\left(\frac12\vec a+\vec b\right)-\vec b=\frac12\vec a\).
5. \(\overrightarrow{AM}=M-A=\frac12\vec a+\vec b\).
6. \(\overrightarrow{AO}=O-A=\frac12\vec a+\frac12\vec b\).
7. \(\overrightarrow{BD}=D-B=\vec b-\vec a\).
8. \(\overrightarrow{DO}=O-D=\frac12(\vec a+\vec b)-\vec b=\frac12\vec a-\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\); \(\overrightarrow{AD}=\vec b\); \(\overrightarrow{CB}=-\vec b\); \(\overrightarrow{DM}=\frac12\vec a\); \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec a+\vec b\); \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)\); \(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a\); \(\overrightarrow{DO}=\frac12(\vec a-\vec b)\).