Задача 3. В прямоугольном треугольнике КРЕ ∠ P = 90°, ∠ К = 60°. На катете РЕ отметили точку М такую, что ∠ КМР = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 16см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике КРЕ:

• \( \angle P = 90^{\circ} \)
• \( \angle K = 60^{\circ} \)
• \( \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)

Рассмотрим треугольник КМР. Известно, что \( \angle KMP = 60^{\circ} \).

В треугольнике КМР:

• \( \angle P = 90^{\circ} \) (так как он является частью \( \angle P \) в треугольнике КРЕ)
• \( \angle KMP = 60^{\circ} \)
• \( \angle MKP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)

В треугольнике КМР катет РМ лежит напротив угла \( \angle MKP = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Следовательно, \( PM = \frac{1}{2} KP \).

Теперь рассмотрим треугольник КРЕ. Мы знаем, что \( \angle E = 30^{\circ} \).

В треугольнике КРЕ катет РМ (который является частью катета РЕ) лежит напротив угла \( \angle K = 60^{\circ} \), а катет РЕ лежит напротив угла \( \angle K = 60^{\circ} \) и катет КМ лежит напротив угла \( \angle E = 30^{\circ} \).

Из треугольника КМР: \( KM = \frac{1}{2} KP \).

Из треугольника КРЕ: \( PE = KP \tan(60^{\circ}) = KP \sqrt{3} \) и \( KE = \frac{KP}{\cos(60^{\circ})} = 2KP \).

Нам дано, что \( EM = 16 \) см.

\( PE = PM + ME \).

В треугольнике КМР, \( PM = KM \cot(60^{\circ}) = KM \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Подставим \( KM = \frac{1}{2} KP \) в это уравнение: \( PM = \frac{1}{2} KP \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{KP}{2\sqrt{3}} \).

Из \( \angle E = 30^{\circ} \) в треугольнике КРЕ: \( KP = PE \tan(30^{\circ}) = PE \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Или \( PE = KP \tan(60^{\circ}) = KP \sqrt{3} \).

Тогда \( PE = PM + ME \).

\( KP \sqrt{3} = PM + 16 \).

Из \( \triangle KMP \) имеем \( \tan(\angle KMP) = \frac{KP}{PM} \) если \( \angle P = 90^{\circ} \). Но \( \angle KMP = 60^{\circ} \) не является углом треугольника КМР, а углом, образованным гипотенузой КМ и линией МР. В задаче \( \angle KMP = 60^{\circ} \) — это угол, где вершина М. Точка М лежит на катете РЕ.

Снова рассмотрим \( \triangle KMP \) с \( \angle P = 90^{\circ} \).

\( \angle KMP = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle MKP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В \( \triangle KMP \), катет РМ лежит напротив угла \( 30^{\circ} \).

Поэтому \( PM = \frac{1}{2} KP \).

Теперь рассмотрим \( \triangle KPE \), где \( \angle P = 90^{\circ} \) и \( \angle E = 30^{\circ} \).

В этом треугольнике, катет РЕ лежит напротив угла \( \angle K = 60^{\circ} \).

Катет КР лежит напротив угла \( \angle E = 30^{\circ} \).

Следовательно, \( KP = \frac{1}{2} KE \).

А \( PE = KP \tan(60^{\circ}) = KP \sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( PE = PM + ME \).

Подставим \( PE = KP \sqrt{3} \) и \( PM = \frac{1}{2} KP \) и \( ME = 16 \) в это уравнение:

\( KP \sqrt{3} = \frac{1}{2} KP + 16 \).

Вынесем \( KP \) за скобки:

\( KP \left( \sqrt{3} - \frac{1}{2} \right) = 16 \).

\( KP \left( \frac{2\sqrt{3} - 1}{2} \right) = 16 \).

\( KP = \frac{16 \cdot 2}{2\sqrt{3} - 1} = \frac{32}{2\sqrt{3} - 1} \).

Теперь найдём PM:

\( PM = \frac{1}{2} KP = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{2\sqrt{3} - 1} = \frac{16}{2\sqrt{3} - 1} \).

Рационализируем знаменатель:

\( PM = \frac{16}{2\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3} + 1} = \frac{16(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{16(2\sqrt{3} + 1)}{12 - 1} = \frac{16(2\sqrt{3} + 1)}{11} \).

\( PM = \frac{32\sqrt{3} + 16}{11} \) см.

Ответ: РМ = \(\frac{32\sqrt{3} + 16}{11}\) см.