Задача № 3. В равнобедренной трапеции высота равна средней линии. Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \(a\) и \(b\), а высота равна \(h\). По условию высота равна средней линии, значит \(h=\frac{a+b}{2}\).

Расположим трапецию в координатной плоскости симметрично относительно оси \(y\): нижние вершины обозначим \(A(-\frac a2,0)\), \(B(\frac a2,0)\), верхние — \(D(-\frac b2,h)\), \(C(\frac b2,h)\).

Направляющие векторы диагоналей:

\(\overrightarrow{AC}=(\frac{a+b}{2},h)\), \(\overrightarrow{BD}=(-\frac{a+b}{2},h)\).

Их скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-\frac{(a+b)^2}{4}+h^2=0\), поскольку \(h=\frac{a+b}{2}\).

Так как скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, диагонали перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.