Задача 3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и BC = 4 см диагонали пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника BOC, если площадь треугольника AOD равна 80 см².

В трапеции основания AD и BC параллельны. Треугольники AOD и BOC подобны: углы при точке O вертикальные, а остальные углы равны из-за параллельности оснований.

Коэффициент подобия треугольника BOC к треугольнику AOD равен отношению оснований:

\(k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}\).

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия:

\(\dfrac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=k^2=\left(\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{1}{16}\).

Тогда

\(S_{BOC}=80\cdot\dfrac{1}{16}=5\) см².

Ответ: 5 см².