Задача 3. В треугольнике ABC известно, что AB = 10 см, BC = 14 см и угол ABC = 120°. а) Найдите длину стороны AC. б) Найдите синус угла BAC.

а) Применим теорему косинусов к стороне AC:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos 120^\circ\).

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(AC^2=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cdot(-\frac12)=100+196+140=436\). Следовательно, \(AC=\sqrt{436}=2\sqrt{109}\) см.

б) По теореме синусов сторона BC противолежит углу BAC, а сторона AC — углу ABC:

\(\dfrac{\sin\angle BAC}{BC}=\dfrac{\sin120^\circ}{AC}\), поэтому \(\sin\angle BAC=\dfrac{14\cdot\sin120^\circ}{2\sqrt{109}}=\dfrac{14\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt{109}}=\dfrac{7\sqrt3}{2\sqrt{109}}\).

Ответ: а) \(AC=2\sqrt{109}\) см; б) \(\sin\angle BAC=\dfrac{7\sqrt3}{2\sqrt{109}}\).