Задача 3. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 4 см, а отрезок гипотенузы, прилежащий к одному из катетов, равен 3 см. Найдите длины сторон треугольника.

Обозначим отрезки гипотенузы через \(p=3\) см и \(q\), а высоту — через \(h=4\) см.

1. По свойству высоты, опущенной на гипотенузу, \(h^2=pq\). Тогда \(q=\frac{h^2}{p}=\frac{16}{3}\) см.
2. Гипотенуза равна сумме отрезков: \(c=p+q=3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}\) см.
3. Квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к нему отрезок. Катет, прилежащий к отрезку 3 см: \(a^2=cp=\frac{25}{3}\cdot3=25\), значит, \(a=5\) см.
4. Второй катет: \(b^2=cq=\frac{25}{3}\cdot\frac{16}{3}=\frac{400}{9}\), значит, \(b=\frac{20}{3}\) см.

Ответ: катеты 5 см и \(\frac{20}{3}\) см; гипотенуза \(\frac{25}{3}\) см.