Задача 4*: В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK, равным 10 см, MN = NK = 20 см. На стороне NK лежит точка A так, что AK : AN = 1 : 3. Найдите AM.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать теорему косинусов и свойства равнобедренного треугольника. 1. Так как AK : AN = 1 : 3, то AK = 1/4 * NK = 1/4 * 20 = 5 см и AN = 3/4 * NK = 15 см. 2. В равнобедренном треугольнике MNK, высота, проведенная из N к MK, также является медианой. Пусть эта высота NH, тогда MH = HK = 10/2 = 5 см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник NHK. По теореме Пифагора: NH^2 + HK^2 = NK^2, NH^2 + 5^2 = 20^2, NH^2 = 400 - 25 = 375, NH = √375 = 5√15 см. 4. Теперь найдем косинус угла NKM (угол K). Используем теорему косинусов в треугольнике MNK: MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 * MN * NK * cos(K) 10^2 = 20^2 + 20^2 - 2 * 20 * 20 * cos(K) 100 = 400 + 400 - 800 * cos(K) 800 * cos(K) = 700 cos(K) = 700/800 = 7/8 5. Теперь рассмотрим треугольник AMK и найдем AM используя теорему косинусов: AM^2 = AK^2 + MK^2 - 2*AK*MK*cos(K) AM^2 = 5^2 + 10^2 - 2 * 5 * 10 * (7/8) AM^2 = 25 + 100 - 100 * (7/8) = 125 - 87.5 = 37.5 AM = √37.5 = √(75/2) = 5√1.5=5*√(3/2) = 5√6 /2 **Ответ:** AM = 5√1.5 см или AM=5√6 /2