Задача 4. Квадрат ABDE и равносторонний треугольник ACF расположены, как на рисунке справа. Точки B, A, C лежат на одной прямой, BA = AC. Прямые BE и DF пересекаются в точке G. Найдите ∠BGD.

Обозначим BA = AC = 1 и расположим точки так: B = (0, 0), A = (1, 0), C = (2, 0). Тогда, поскольку ABDE — квадрат, D = (0, 1) и E = (1, 1). В равностороннем треугольнике ACF вершина F имеет координаты (1.5, √3/2).

Прямая BE имеет наклон 1, а наклон прямой DF равен (√3/2 − 1) / 1.5 = (√3 − 2) / 3. Угол между лучами GB и GD равен разности направлений соответствующих прямых. Поэтому ∠BGD = 45° + arctan((2 − √3)/3), приблизительно 49.7°.

Ответ: ∠BGD = 45° + arctan((2 − √3)/3) ≈ 49.7°.