Задача 4. Сколько надо долить воды при 20 °С в 3 л воды при 60 °С, чтобы получить воду при 40 °С?

Дано:

\( V_1 = 3 \text{ л} \)

\( T_1 = 60 \text{ °С} \)

\( T_2 = 20 \text{ °С} \)

\( T_{итог} = 40 \text{ °С} \)

\( \rho = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} \) (плотность воды)

\( c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \)

Найти:

\( V_2 \) — объем доливаемой воды

Решение:

При смешивании воды различной температуры происходит теплообмен. Количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой (потерями пренебрегаем):

\( Q_{отданное} = Q_{полученное} \)

\[ c \cdot m_1 \cdot (T_1 - T_{итог}) = c \cdot m_2 \cdot (T_{итог} - T_2) \]

Поскольку \( c \) одинаково, сокращаем его:

\[ m_1 \cdot (T_1 - T_{итог}) = m_2 \cdot (T_{итог} - T_2) \]

Переведем объемы в массы, зная, что \( m = \rho \cdot V \) и \( \rho \approx 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} \):

\[ \rho \cdot V_1 \cdot (T_1 - T_{итог}) = \rho \cdot V_2 \cdot (T_{итог} - T_2) \]

Массы и плотность сокращаются:

\[ V_1 \cdot (T_1 - T_{итог}) = V_2 \cdot (T_{итог} - T_2) \]

Выразим \( V_2 \):

\[ V_2 = V_1 \cdot \frac{T_1 - T_{итог}}{T_{итог} - T_2} \]

Подставим значения:

\[ V_2 = 3 \text{ л} \cdot \frac{60 \text{ °С} - 40 \text{ °С}}{40 \text{ °С} - 20 \text{ °С}} \]

\[ V_2 = 3 \text{ л} \cdot \frac{20 \text{ °С}}{20 \text{ °С}} \]

\[ V_2 = 3 \text{ л} \cdot 1 \]

\[ V_2 = 3 \text{ л} \]

Ответ: 3 л.