Задача 4 Точка Х равноудалена от концов отрезка MN. Докажите, что точка Х лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN. (Используйте равенство треугольников).

Краткое пояснение:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники MXN и HMN, где H — середина отрезка MN.

1. Шаг 1: По условию, точка X равноудалена от концов отрезка MN. Это означает, что MX = NX.
2. Шаг 2: Проведем отрезок MX и NX. Так как MX = NX, то треугольник MNX является равнобедренным.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники MXH и NXH, где H — середина отрезка MN.
4. Шаг 4: У нас есть:
• MX = NX (по условию)
• MH = NH (так как H — середина MN)
• XH — общая сторона для обоих треугольников.
5. Шаг 5: По трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников), треугольники MXH и NXH равны.
6. Шаг 6: Из равенства треугольников следует, что углы MXH и NXH равны. Так как эти углы смежные и их сумма равна 180°, то каждый из них равен 90° (180°/2 = 90°).
7. Шаг 7: Отрезок XH перпендикулярен отрезку MN и делит его пополам (так как H — середина MN).

Таким образом, точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN.