Задача 5. Известно, что ∠KMN = ∠KNM, MK : MN = 5 : 2, периметр треугольника KMN равен 30. Найдите длину отрезка MK.

В треугольнике равные углы лежат напротив равных сторон. Поэтому из равенства \(\angle KMN = \angle KNM\) следует, что \(KN = KM\).

По условию \(MK : MN = 5 : 2\). Обозначим одну часть отношения за \(x\). Тогда \(MK = KN = 5x\), а \(MN = 2x\).

Используем периметр:

\(5x + 5x + 2x = 30\).

\(12x = 30\), поэтому \(x = 2,5\).

Тогда \(MK = 5 \cdot 2,5 = 12,5\).

Ответ: 12,5.