Задача 5: На рис 5. CE || BA, угол 3 равен 120°. CA – биссектриса угла BAD. Найдите периметр треугольника ACD, если AC = 6см.

Поскольку CE || BA, то ∠ECA = ∠CAB как накрест лежащие углы, и ∠DCE = ∠DBA как соответственные углы. Так как CA - биссектриса угла BAD, то ∠BAC = ∠CAD. Поскольку ∠ECA = ∠CAB и ∠BAC = ∠CAD, то ∠ECA = ∠CAD. Следовательно, треугольник ACD равнобедренный с AC = CD = 6 см. ∠3 = 120°, следовательно ∠BCA = 180° - 120° = 60°. Так как CE || BA, то ∠BAC = ∠ECA. Значит, ∠BAC = ∠CAD = ∠ECA. В треугольнике ABC, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. По условию CE || BA, значит, ∠ABC + ∠BCE = 180°. Учитывая, что ∠3 = 120°, то ∠BCE = 180 - 120 = 60°. Учитывая, что СА - биссектриса угла BAD, заключаем, что треугольник АВС - равносторонний, и ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 60°. Значит, AC = BC = AB = 6 см. AD = AC = 6см. Периметр треугольника ACD = AC + CD + AD = 6 + 6 + 6 = 18 см. Ответ: Периметр треугольника ACD = 18 см.