Задача №5. Перпендикулярно радиусу шара проведена секущая плоскость, разделяющая радиус пополам. Площадь сечения равна 75л. Найдите объем шара.

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \), где \( R \) — радиус шара.

Секущая плоскость перпендикулярна радиусу. Сечение шара плоскостью — это круг.

Пусть \( R \) — радиус шара, \( r \) — радиус сечения, \( d \) — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

По условию, секущая плоскость делит радиус пополам. Это означает, что \( d = \frac{R}{2} \).

Площадь сечения (круга) равна \( S = \pi r^2 = 75\pi \) дм².

Отсюда \( r^2 = 75 \) дм².

Связь между \( R \), \( r \) и \( d \) в прямоугольном треугольнике: \( R^2 = r^2 + d^2 \).

Подставим известные значения: \( R^2 = 75 + (\frac{R}{2})^2 \).

\( R^2 = 75 + \frac{R^2}{4} \).

\( R^2 - \frac{R^2}{4} = 75 \).

\( \frac{3R^2}{4} = 75 \).

\( 3R^2 = 75 \cdot 4 = 300 \).

\( R^2 = 100 \).

\( R = 10 \) дм.

Теперь найдем объем шара: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 10^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 1000 = \frac{4000\pi}{3} \) дм³.

Ответ: \( \frac{4000\pi}{3} \) дм³.