Задача 5 (повышенный уровень). Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO=OC и BO=OD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO=OC и BO=OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы OAB и OCD равны, откуда AB параллельна CD.

Аналогично, треугольники AOD и COB равны: AO=OC, OD=OB, а углы AOD и COB вертикальные. Отсюда AD параллельна BC.

Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.