Задача 5. Прямоугольная трапеция и углы. В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($\angle A=\angle B=90^\circ$) диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$ и равна 12 см. Меньшее основание $BC=6$ см. Найдите большее основание $AD$ и боковую сторону $CD$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 5. Прямоугольная трапеция и углы. В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($\angle A=\angle B=90^\circ$) диагональ…$ Фото задания

Задача 5. Прямоугольная трапеция и углы. В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($\angle A=\angle B=90^\circ$) диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$ и равна 12 см. Меньшее основание $BC=6$ см. Найдите большее основание $AD$ и боковую сторону $CD$.

Accepted Answer

Так как $AC$ — биссектриса прямого угла $A$, то $\angle CAD=45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ACD$ угол при $D$ прямой, поэтому это равнобедренный прямоугольный треугольник: $AD=CD$.

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$: $AB^2+BC^2=AC^2$. Следовательно, $AB^2=12^2-6^2=108$, откуда $AB=6\sqrt{3}$ см.

Высота трапеции $AB$ равна вертикальной составляющей диагонали $AC$. Поскольку $AC$ образует угол 45° с основанием, его горизонтальная и вертикальная составляющие равны. Поэтому $AD=AB=6\sqrt{3}$ см, и $CD=6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $AD=6\sqrt{3}$ см; $CD=6\sqrt{3}$ см.