Задача 5. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:17:23. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 84.

Решение:

Пусть стороны четырехугольника относятся как \( x \), \( 17x \), \( 23x \).

Так как четырехугольник описан около окружности, сумма противоположных сторон равна.

Пусть стороны равны \( a = x \), \( b = 17x \), \( c = 23x \) и \( d \).

По свойству описанного четырехугольника:

\( a + c = b + d \)

\( x + 23x = 17x + d \)

\( 24x = 17x + d \)

\( d = 24x - 17x = 7x \).

Таким образом, стороны четырехугольника в последовательном порядке равны \( x, 17x, 23x, 7x \).

Периметр четырехугольника \( P = a + b + c + d = x + 17x + 23x + 7x \).

Дано, что периметр \( P = 84 \).

\( x + 17x + 23x + 7x = 84 \)

\( 48x = 84 \)

\( x = \frac{84}{48} = \frac{7}{4} = 1.75 \).

Найдем длины сторон:

\( a = x = 1.75 \)

\( b = 17x = 17 \cdot 1.75 = 29.75 \)

\( c = 23x = 23 \cdot 1.75 = 40.25 \)

\( d = 7x = 7 \cdot 1.75 = 12.25 \)

Проверим периметр: \( 1.75 + 29.75 + 40.25 + 12.25 = 84 \).

Наибольшая сторона равна \( 40.25 \).

Ответ: 40.25.