Задача 5 (высокий уровень, с доказательством). В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Подсказка: Рассмотрите треугольники AOB и COD, докажите их равенство и сделайте вывод о параллельности противоположных сторон.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD равны как вертикальные.

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников получаем ∠ABO = ∠CDO и ∠BAO = ∠DCO. Это накрест лежащие углы при секущих BD и AC, поэтому AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны, является параллелограммом.

Доказано: ABCD — параллелограмм.