Задача 6.6. С дерева сорвали несколько апельсинов (не обязательно равной массы). Когда их взвесили, то оказалось, что масса любых трёх апельсинов, взятых вместе, составляет меньше 5% от суммарной массы остальных апельсинов. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть сорвано?

Пусть общая масса всех апельсинов равна M. Для любых трёх масса T меньше 5% массы остальных, то есть T < 0,05(M − T). Отсюда 1,05T < 0,05M, поэтому T < M / 21.

Рассмотрим три самых тяжёлых апельсина. Их средняя масса не меньше средней массы всех апельсинов, поэтому их суммарная масса не меньше 3M / n, где n — число апельсинов. Следовательно, 3M / n < M / 21, откуда n > 63. Значит, апельсинов должно быть не меньше 64.

Проверим, что 64 достаточно: если массы одинаковы, масса любых трёх составляет 3/64 общей массы, а 3/64 < 1/21. Условие выполнено.

Ответ: 64 апельсина.