Задача 6 Разложите на множители выражение (a - b)(a + 2b)² - (a + b)³ + b³.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Раскроем квадрат первой скобки: \( (a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 \).
2. Перемножим \( (a - b) \) на \( (a^2 + 4ab + 4b^2) \): \( (a - b)(a^2 + 4ab + 4b^2) = a(a^2 + 4ab + 4b^2) - b(a^2 + 4ab + 4b^2) = a^3 + 4a^2b + 4ab^2 - a^2b - 4ab^2 - 4b^3 = a^3 + 3a^2b - 4b^3 \).
3. Раскроем куб второй скобки: \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).
4. Подставим полученные выражения обратно в исходное: \( (a^3 + 3a^2b - 4b^3) - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + b^3 \).
5. Упростим: \( a^3 + 3a^2b - 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3 + b^3 \).
6. Сгруппируем подобные члены: \( (a^3 - a^3) + (3a^2b - 3a^2b) - 3ab^2 + (-4b^3 - b^3 + b^3) \).
7. Получим: \( -3ab^2 - 4b^3 \).
8. Вынесем общий множитель \( -b^2 \): \( -b^2(3a + 4b) \).

Ответ: -b²(3a + 4b).