Задача 8 Решите систему уравнений x+y-z = 2, x+2y + z = -1, x-y-2z = 2.

Решение:

Решим систему методом подстановки или сложения.

1. Выразим \( z \) из первого уравнения: \( z = x + y - 2 \).
2. Подставим \( z \) во второе уравнение: \( x + 2y + (x + y - 2) = -1 \). Упростим: \( 2x + 3y - 2 = -1 \) → \( 2x + 3y = 1 \) (Уравнение 4).
3. Подставим \( z \) в третье уравнение: \( x - y - 2(x + y - 2) = 2 \). Упростим: \( x - y - 2x - 2y + 4 = 2 \) → \( -x - 3y + 4 = 2 \) → \( -x - 3y = -2 \) → \( x + 3y = 2 \) (Уравнение 5).
4. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: \( \begin{cases} 2x + 3y = 1 \ x + 3y = 2
   \end{cases} \).
5. Вычтем из первого уравнения второе: \( (2x + 3y) - (x + 3y) = 1 - 2 \) → \( x = -1 \).
6. Подставим \( x = -1 \) в уравнение 5: \( -1 + 3y = 2 \) → \( 3y = 3 \) → \( y = 1 \).
7. Подставим \( x = -1 \) и \( y = 1 \) в первое уравнение исходной системы: \( -1 + 1 - z = 2 \) → \( -z = 2 \) → \( z = -2 \).

Ответ: \( x = -1, y = 1, z = -2 \).