Задача 6. В треугольнике ABC: AC = 10, ∠A = 30°, ∠C = 45°. Найдите сторону AB и площадь треугольника.

Сначала найдём третий угол: \(\angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов:

\[\frac{AB}{\sin 45^\circ}=\frac{AC}{\sin 105^\circ},\qquad AB=10\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}.\]

Подставим значения: \(\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\). Тогда \(AB=10(\sqrt3-1)\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\[S=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin A=\frac12\cdot10\cdot10(\sqrt3-1)\cdot\frac12=25(\sqrt3-1).\]

Ответ: \(AB=10(\sqrt3-1)\), площадь \(S=25(\sqrt3-1)\).