Задача 7.7. В ряд выписали дроби \(\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{1000}\). Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на \(77^2\)?

В качестве общего знаменателя можно взять \(1000!\). Тогда числитель дроби \(\frac1k\) равен \(\frac{1000!}{k}\).

Разложим число \(77^2\): \[77^2=7^2\cdot11^2.\]

В разложении \(1000!\) содержится:

\[v_7(1000!)=\left\lfloor\frac{1000}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1000}{49}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1000}{343}\right\rfloor=142+20+2=164;\]

\[v_{11}(1000!)=\left\lfloor\frac{1000}{11}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{1000}{121}\right\rfloor=90+8=98.\]

Для любого \(k\le1000\) из факториала при делении на \(k\) могут исчезнуть не более трёх множителей 7 и не более двух множителей 11. Поэтому в числителе останется как минимум \(7^{161}\) и \(11^{96}\), то есть он обязательно делится на \(7^2\cdot11^2=77^2\).

Ответ: 0 дробей.